基本概念

发表: 5/29/2026 更新: 6/1/2026 字数: 0 字 时长: 0 分钟

1.极限

一元极限：设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某个去心领域内有定义.

If$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,$ 当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，恒有:

$|f(x)-A|<\epsilon .$
记作 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A.$

${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}f(x)\mathrm{\exists }⟺f(x_0-0)、f(x_0+0)\mathrm{\exists }\mathrm{且}\mathrm{相}\mathrm{等}}$

二元极限：$f(x,y)$ 在 $M_0(x_0,y_0)$ 的某个去心领域内有定义.

If$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,$ 当 $0<\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta$ 时，恒有:

$|f(x,y)-A|<\epsilon .$
记作 $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)=A$ 或 $\underset{\begin{array}{r}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{lim}f(x,y)=A.$

2.连续

一元连续：设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某个去心领域内有定义,且 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$
则称函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续.

${\displaystyle f(x)\mathrm{在}x=x_0\mathrm{连}\mathrm{续}⟺f(x_0-0)=f(x_0+0)=f(x_0)}$

二元连续：设函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某领域内有定义
且 $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)=f(x_0,y_0)$ 或
$\underset{(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to (0,0)}{lim}\mathrm{\Delta }z=\underset{(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to (0,0)}{lim}[f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)]=0$
则称 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续.

3.偏导数

一元导数：$y=f(x)$ 在 $x=a$ 领域内有定义

If${\displaystyle \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\mathrm{\exists }}$ 或 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\mathrm{\exists }}$

① $f(x)\mathrm{在}x=a\mathrm{可}\mathrm{导}\begin{array}{c}⟹\\ ⟸⧸\phantom{⟸}\end{array}{f}^{\prime }(x)\mathrm{在}x=a\mathrm{连}\mathrm{续}$
② $f^{\prime }(a)\mathrm{\exists }⟺f_{-}(a),f_{+}(a)\mathrm{\exists }\mathrm{且}\mathrm{相}\mathrm{等}$
③ $f(x)\mathrm{在}x=a\mathrm{可}\mathrm{导}⟺f(x)\mathrm{在}x=a\mathrm{可}\mathrm{微}$

二元偏导数：$z=f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)\in D$ 领域内有定义
$\mathrm{\Delta }{z}_x=f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f(x_0,y_0)$
$\mathrm{\Delta }{z}_y=f(x_0,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)$
$\mathrm{\Delta }z=f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)$

If${\displaystyle \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }{z}_x}{\mathrm{\Delta }x}\mathrm{\exists }}$ 或 ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}\mathrm{\exists }}$

称 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处关于 $x$ 可偏导，极限值为对 $x$ 的偏导数.
记作 $f_x(x_0,y_0)$ 或 $\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}$

If${\displaystyle \underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }{z}_y}{\mathrm{\Delta }y}\mathrm{\exists }}$ 或 ${\displaystyle \underset{y\to y_0}{lim}\frac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0}\mathrm{\exists }}$

称 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处关于 $y$ 可偏导，极限值为对 $y$ 的偏导数.
记作 $f_y(x_0,y_0)$ 或 $\frac{\partial z}{\partial y}{|}_{(x_0,y_0)}$

---

称 ${\displaystyle \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x,y)-f(x,y)}{\mathrm{\Delta }x}\triangleq f_x(x,y)}$ 为 $f(x,y)$ 关于 $x$ 的偏导函数
设 $z=f(x,y)$ 的偏导函数 $f_x(x,y),f_y(x,y)$ 仍可偏导
${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=f_{xx}(x,y),\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=f_{yy}(x,y);}$
${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})\triangleq f_{xy}(x,y);}$
${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y})\triangleq f_{yx}(x,y).}$

$\begin{array}{l}\mathrm{例}1.\mathrm{讨}\mathrm{论}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x,y)=\{\begin{array}{rlr}& \frac{xy}{x^2+y^2}& ,(x,y)\ne (0,0),\\ & 0& ,(x,y)=(0,0)\end{array}\mathrm{在}(0,0)\mathrm{处}\mathrm{的}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{性}\\ \mathrm{和}\mathrm{偏}\mathrm{导}\mathrm{的}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{性}.\end{array}$

$\begin{array}{l}{\displaystyle \mathrm{若}\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}f(x,y)=f(0,0)\mathrm{则}f(x,y)\mathrm{在}(0,0)\mathrm{处}\mathrm{连}\mathrm{续}}\\ {\displaystyle \mathrm{当}y=kx\mathrm{时},\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}f(x,y)=\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{k}{1+k^2}\ne f(0,0)=0(k\ne 0)}\\ \therefore f(x,y)\mathrm{在}(0,0)\mathrm{处}\mathrm{不}\mathrm{连}\mathrm{续}\\ {\displaystyle f_x(0,0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(\mathrm{\Delta }x,0)-f(0,0)}{\mathrm{\Delta }x}=0,f_y(0,0)=\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{f(0,\mathrm{\Delta }y)-f(0,0)}{\mathrm{\Delta }y}=0}\\ f_x(0,0)=f_y(0,0)=0\\ \therefore f(x,y)\mathrm{在}(0,0)\mathrm{处}\mathrm{偏}\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{存}\mathrm{在}\end{array}$

$\begin{array}{l}\mathrm{例}2.\mathrm{讨}\mathrm{论}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x,y)=\{\begin{array}{rlr}& \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}& ,(x,y)\ne (0,0),\\ & 0& ,(x,y)=(0,0)\end{array}\mathrm{在}(0,0)\mathrm{处}\mathrm{的}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{性}\\ \mathrm{和}\mathrm{偏}\mathrm{导}\mathrm{的}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{性}.\end{array}$

$\begin{array}{l}{\displaystyle \because 0\le |\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}|\le |\frac{x^3}{x^2+y^2}|+|\frac{y^3}{x^2+y^2}|=|\frac{x^3}{x^2}|+|\frac{y^3}{y^2}|=|x|+|y|}\\ {\displaystyle \therefore 0\le \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}|f(x,y)|\le \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}|x|+|y|=0}\\ {\displaystyle \therefore \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}|f(x,y)|=f(0,0)=0\Rightarrow f(x,y)\mathrm{在}(0,0)\mathrm{处}\mathrm{连}\mathrm{续}}\\ {\displaystyle f_x(0,0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(\mathrm{\Delta }x,0)-f(0,0)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}=1}\\ {\displaystyle f_y(0,0)=\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{f(0,\mathrm{\Delta }y)-f(0,0)}{\mathrm{\Delta }y}=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }y}=1}\\ \therefore f(x,y)\mathrm{在}(0,0)\mathrm{处}\mathrm{偏}\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{存}\mathrm{在}\end{array}$

4.可（全）微

一元可微：$y=f(x)$ 在 $x=a$ 领域内有定义
$\mathrm{\Delta }y=f(a+\mathrm{\Delta }x)-f(a)(=f(x)-f(a))$

If$\mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$

称 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可微:
$\begin{array}{l}A\mathrm{\Delta }x\triangleq \mathrm{d}y{|}_{x=a}\\ \parallel \\ A\mathrm{d}x\end{array}$

① $f(x)\mathrm{在}x=a\mathrm{可}\mathrm{微}⟺f(x)\mathrm{在}x=a\mathrm{可}\mathrm{微}$
② $If\mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x),\mathrm{则}A=f^{\prime }(a)$
③ $Ify=f(x)\mathrm{可}\mathrm{导},\mathrm{则}\mathrm{d}y=\mathrm{d}f(x)=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x.$

二元可微：$z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 领域内有定义
$\mathrm{\Delta }z=f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)\mathrm{或}$
$\mathrm{\Delta }z=f(x,y)-f(x_0,y_0)(\mathrm{\Delta }x=x-x_0,\mathrm{\Delta }y=y-y_0)$
$If\mathrm{\Delta }z=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+o(\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2})$
其中 $A,B$ 仅依赖于 $(x,y)$ 而与 $\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y$ 无关，则称 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可(全)微
其中 $A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y$ 称为 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的全微分，记作 $\mathrm{d}z:$
$\begin{array}{l}A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y\triangleq \mathrm{d}z{|}_{(x_0,y_0)}\\ \parallel \\ A\mathrm{d}x+B\mathrm{d}y\end{array}$

①
$\begin{array}{rl}& \mathrm{当}\mathrm{\Delta }z=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+o(\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2})\\ & \Rightarrow A=f_x(x_0,y_0),B=f_y(x_0,y_0)\\ & \mathrm{则}\mathrm{称}f(x,y)\mathrm{在}(x_0,y_0)\mathrm{可}\mathrm{微}.\end{array}$
$\mathrm{可}\mathrm{微}\begin{array}{c}⟹\\ ⟸⧸\phantom{⟸}\end{array}\mathrm{可}\mathrm{偏}\mathrm{导}$
② $\mathrm{当}z=f(x,y)\mathrm{处}\mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{微},\mathrm{则}:\mathrm{可}\mathrm{微}\begin{array}{c}⟹\\ ⟸⧸\phantom{⟸}\end{array}\mathrm{连}\mathrm{续}$
${\displaystyle \mathrm{且}\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y.}$
③ $\mathrm{一}\mathrm{阶}\mathrm{偏}\mathrm{导}\mathrm{连}\mathrm{续}\begin{array}{c}⟹\\ ⟸⧸\phantom{⟸}\end{array}\mathrm{可}\mathrm{微}$

证明

1. $\mathrm{可}\mathrm{微}\Rightarrow \mathrm{连}\mathrm{续}$
   $\begin{array}{l}\mathrm{若}f(x,y)\mathrm{在}(x_0,y_0)\mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{微}:\\ {\displaystyle \mathrm{\Delta }z=f_x(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }x+f_y(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }y+o(\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}),\rho =\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}}\\ {\displaystyle \mathrm{\Delta }z=f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)}\\ \begin{array}{rl}\underset{(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to (0,0)}{lim}\mathrm{\Delta }z& =\underset{(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to (0,0)}{lim}[f_x(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f_x(x_0,y_0)]\\ & =\underset{(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to (0,0)}{lim}{f}_x(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }x+f_y(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }y+o(\rho )=0\end{array}\\ {\displaystyle \therefore \underset{(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to (0,0)}{lim}f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)=f(x_0,y_0).}\end{array}$

2. $\mathrm{一}\mathrm{阶}\mathrm{偏}\mathrm{导}\mathrm{连}\mathrm{续}\Rightarrow \mathrm{可}\mathrm{微}$
   $\begin{array}{l}\begin{array}{rl}\mathrm{全}\mathrm{增}\mathrm{量}\mathrm{\Delta }z& =f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)\\ & =f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0+\mathrm{\Delta }y)+f(x_0,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)\end{array}\\ \mathrm{根}\mathrm{据}Lagrange\mathrm{中}\mathrm{值}\mathrm{定}\mathrm{理}:\\ \therefore f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0+\mathrm{\Delta }y)=f_x(x_0+{\theta }_1\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)\mathrm{\Delta }x(0\le {\theta }_1\le 1)\\ f(x_0,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0+{\theta }_2\mathrm{\Delta }y)\mathrm{\Delta }y(0\le {\theta }_2\le 1)\\ \mathrm{\Delta }z=f_x(x_0+{\theta }_1\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)\mathrm{\Delta }x+f_y(x_0,y_0+{\theta }_2\mathrm{\Delta }y)\mathrm{\Delta }y\\ \\ {\displaystyle \mathrm{根}\mathrm{据}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{的}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}\mathrm{形}\mathrm{式}:\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)+\alpha (x\to x_0,\alpha \to 0)}\\ \begin{array}{rl}\underset{(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to (0,0)}{lim}\mathrm{\Delta }z& =(f_x(x_0,y_0)+\alpha )\mathrm{\Delta }x+(f_y(x_0,y_0)+\beta )\mathrm{\Delta }y\\ & =f_x(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }x+f_y(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }y+\alpha \mathrm{\Delta }x+\beta \mathrm{\Delta }y\end{array}\\ \mathrm{此}\mathrm{时}\{\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }x\to 0,\\ & \mathrm{\Delta }y\to 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& \alpha \to 0,\\ & \beta \to 0,\\ & \rho \to 0\end{array}\\ \\ \because \rho =\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}\ge \mathrm{\Delta }x\mathrm{或}\mathrm{\Delta }y\\ {\displaystyle \therefore 0\le \underset{(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to (0,0)}{lim}|\frac{\alpha \mathrm{\Delta }x+\beta \mathrm{\Delta }y}{\rho }|\le \underset{(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to (0,0)}{lim}(|\frac{\mathrm{\Delta }x}{\rho }\alpha |+|\frac{\mathrm{\Delta }y}{\rho }\beta |)\le \underset{(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to (0,0)}{lim}(|\alpha |+|\beta |)=0}\\ {\displaystyle \mathrm{由}\mathrm{夹}\mathrm{逼}\mathrm{定}\mathrm{理}\mathrm{得}:\underset{(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\to (0,0)}{lim}|\frac{\alpha \mathrm{\Delta }x+\beta \mathrm{\Delta }y}{\rho }|=0}\\ \therefore \alpha \mathrm{\Delta }x+\beta \mathrm{\Delta }y=o(\rho )\\ \\ \mathrm{得}\mathrm{\Delta }z=f_x(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }x+f_y(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }y+o(\rho )\\ \Rightarrow f(x,y)\mathrm{在}(x_0,y_0)\mathrm{处}\mathrm{可}\mathrm{微}.\end{array}$