余弦差角公式及其推广

发表: 5/10/2026 更新: 5/20/2026 字数: 0 字时长: 0 分钟

余弦差角公式

$余弦差角图像1$ 图一余弦差角示意图

如图，在以原点 O 为圆心的单位圆的第一象限上，有 $A (\cos β, \sin β), B (\cos α, \sin α)$ 两点,连接 $A, O, B$ 三点作 $Δ A O B$ ,其中 $∠ A O B = α - β$

法一:三角形内勾股定理

过 B 点作线段 AO 的垂线交于 C 点，半径 AO=BO=1.
$则 \cos (α - β) = \frac{O C}{B O} = O C$
$(A B)^{2} = (\cos α - \cos β)^{2} + (\sin α - \sin β)^{2}$
$设 O C 为 x, A C 为 1 - x, 且 Δ A B C 与 Δ O B C 都为直角三角形$
$∴ 满足等式 : {O B}^{2} - {O C}^{2} = (A B)^{2} - {A X}^{2}$
$\begin{aligned} 1 - x^{2} & = (\cos α - \cos β)^{2} + (\sin α - \sin β)^{2} - (1 - x)^{2} \\ 1 - x^{2} & = \cos^{2} α + \cos^{2} β - 2 \cos α \cos β + \sin^{2} α + \sin^{2} β - 2 \sin α \sin β - 1 - x^{2} + 2 x \\ 2 - x^{2} & = (\cos^{2} α + \sin^{2} α) + (\cos^{2} β + \sin^{2} β) - 2 (\cos α \cos β + \sin α \sin β) - x^{2} + 2 x \\ x & = \cos α \cos β + \sin α \sin β \end{aligned}$
$∴ \cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$

$余弦差角图像2$ 图二余弦差角-三角形内勾股定理

法二:余弦定理

根据余弦定理，有
$\begin{aligned} (A B)^{2} & = (O B)^{2} + (O A)^{2} - 2 O B \cdot O A \cdot \cos (α - β) \\ (A B)^{2} & = 2 - 2 \cos (α - β) \end{aligned}$
联立:
$\begin{matrix} (A B)^{2} = (\cos α - \cos β)^{2} + (\sin α - \sin β)^{2} \\ (A B)^{2} = 2 - 2 \cos (α - β) \end{matrix}} \Rightarrow \cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$

现在已经我们已经得到了余弦差角公式，它是，它是唯一需要跨角度运算的底层公式，所有涉及到「两个角度加减」的公式都是由其推导，没有例外。

\cos (α - β) {\begin{cases} \overset{β \to - β}{\to} \cos (α + β) 余弦和角 \\ \overset{诱 导 公 式 代 换}{\to} \sin (α \pm β) 正弦和差 \\ \overset{\sin / \cos}{\to} \tan (α \pm β) 正切和差 \\ \overset{β = α}{\to} 倍 角 公 式 \\ \overset{倍 角 反 解}{\to} 降 幂 公 式 \\ \overset{换 元}{\to} 和 差 化 积 、 积 化 和 差 \\ \overset{齐 次 化 变 形}{\to} 万 能 公 式 \end{cases}

接下来我们将要推广余弦差角公式。

和差公式

$已知 \cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$
① 余弦和角
$\begin{aligned} \cos (α + β) & = \cos α \cos (- β) + \sin α \sin (- β) \\ = \cos α \cos β - \sin α \sin β \end{aligned}$
② 正弦差角
$\begin{aligned} \sin (α - β) & = \cos (\frac{π}{2} - (α - β)) = \cos ((\frac{π}{2} - α) + β) \\ = \cos (\frac{π}{2} - α) \cos β - \sin (\frac{π}{2} - α) \sin β \\ = \sin α \cos β - \cos α \sin β \end{aligned}$
③ 正弦和角
$\begin{aligned} \sin (α + β) & = \sin α \cos (- β) - \cos α \sin (- β) \\ = \sin α \cos β + \cos α \sin β \end{aligned}$
④ 正切和差
$\begin{aligned} \tan (α - β) & = \frac{\sin α \cos β - \cos α \sin β}{\cos α \cos β + \sin α \sin β} \\ = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β} \\ \tan (α + β) & = \frac{\sin α \cos β + \cos α \sin β}{\cos α \cos β - \sin α \sin β} \\ = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} \end{aligned}$

整理得三角函数和差公式:

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} \cos (α - β) & = \cos α \cos β + \sin α \sin β \\ \cos (α + β) & = \cos α \cos β - \sin α \sin β \\ \sin (α - β) & = \sin α \cos β - \cos α \sin β \\ \sin (α + β) & = \sin α \cos β + \cos α \sin β \\ \tan (α - β) & = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β} \\ \tan (α + β) & = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β} \end{aligned} \end{matrix}

和差公式的逆用-辅助角公式

$a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (x + φ)$ , 其中 $\cos φ = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}, \sin φ = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$
推导:
构造常数 A，令 $\frac{a}{A} = \cos φ, \frac{b}{A} = \sin φ$
$∵ \cos^{2} φ + \sin^{2} φ = 1$
$\begin{aligned} \Rightarrow (\frac{a}{A})^{2} + (\frac{b}{A})^{2} & = 1 \\ \frac{a^{2} + b^{2}}{A^{2}} & = 1 \\ A & = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \end{aligned}$
$\begin{aligned} a \sin x + b \cos x & = A (\frac{a}{A} \sin x + \frac{b}{A} \cos x) \\ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} \cos x) \\ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} (\cos φ \sin x + \sin φ \cos x) \\ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (x + φ) \end{aligned}$

倍角公式

令 $α = β$
$\begin{aligned} \cos 2 α = \cos α \cos α - \sin α \sin α & = \cos^{2} α - \sin^{2} α \\ = 2 \cos^{2} α - 1 \\ = 1 - 2 \sin^{2} α \end{aligned}$
$\sin 2 α = \sin α \cos α + \cos α \sin α = 2 \sin α \cos α$
$\tan 2 α = \frac{\tan α + \tan α}{1 - \tan α \tan α} = \frac{2 \tan α}{1 - \tan α^{2}}$

整理得三角函数倍角公式:

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \cos 2 α & = \cos^{2} α - \sin^{2} α \\ = 2 \cos^{2} α - 1 = 1 - 2 \sin^{2} α \\ \sin 2 α & = 2 \sin α \cos α \\ \tan 2 α & = \frac{2 \tan α}{1 - \tan α^{2}} \end{aligned} \end{matrix}

关于 tan x/2 半角公式

半角公式 $\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$
${\begin{matrix} 1 + \cos x = 2 \cos^{2} \frac{x}{2} \\ \sin x = 2 \cos \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2} \end{matrix} \Rightarrow \tan \frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$
${\begin{matrix} 1 - \cos x = 2 \sin^{2} \frac{x}{2} \\ \sin x = 2 \cos \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2} \end{matrix} \Rightarrow \tan \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$

该半角公式无根号，化简方便。

降幂公式

由 (2) 得 $\cos 2 α = 2 \cos^{2} α - 1 = 1 - 2 \sin^{2} α$
三角函数降幂公式:

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} \cos^{2} α & = \frac{1 + \cos 2 α}{2} \\ \sin^{2} α & = \frac{1 - \cos 2 α}{2} \\ \tan^{2} α & = \frac{1 - \cos 2 α}{1 + \cos 2 α} \end{aligned} \end{matrix}

积化和差、和差化积

积化和差(和差公式变形)

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \sin α \cos β & = \frac{1}{2} [\sin (α + β) + \sin (α - β)] \\ \cos α \sin β & = \frac{1}{2} [\sin (α + β) - \sin (α - β)] \\ \cos α \cos β & = \frac{1}{2} [\cos (α + β) + \cos (α - β)] \\ \sin α \sin β & = - \frac{1}{2} [\cos (α + β) - \cos (α - β)] \end{aligned} \end{matrix}

和差化积（对积化和差换元：令 $x = α + β, y = α - β$ ）

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \sin x + \sin y & = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} \\ \sin x - \sin y & = 2 \cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2} \\ \cos x + \cos y & = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} \\ \cos x - \cos y & = - 2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2} \end{aligned} \end{matrix}

万能公式

三角函数万能公式，使用 $\tan \frac{x}{2}$ （记为 t），把 $\sin x 、 \cos x 、 \tan x$ 全部表示为有理整式。
主要作用:把三角函数积分，形如 $\int R (\sin x, \cos x) d x$ 的式子转化为有理函数积分，消去三角函数。

令 $t = \tan \frac{x}{2}$
$\begin{aligned} \sin x & = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \\ = \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\sin^{2} \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2}} \\ = \frac{2 \cdot \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}})^{2} + 1} (分子分母同除以 \cos^{2} \frac{x}{2}) \\ = \frac{2 t}{1 + t^{2}} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \cos x & = \cos^{2} \frac{x}{2} - \sin^{2} \frac{x}{2} \\ = \frac{\cos^{2} \frac{x}{2} - \sin^{2} \frac{x}{2}}{\sin^{2} \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2}} \\ = \frac{1 - (\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}})^{2}}{(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}})^{2} + 1} (分子分母同除以 \cos^{2} \frac{x}{2}) \\ = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \end{aligned}$
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2 t}{1 - t^{2}}$
$t = \tan \frac{x}{2} \Rightarrow d t = \frac{1}{2} \sec^{2} \frac{x}{2} d x = \frac{1}{2} (1 + \tan^{2} \frac{x}{2}) d x = \frac{1}{2} (1 + t^{2}) d x \Rightarrow d x = \frac{2}{1 + t^{2}} d t$

整理得三角函数万能公式(令 $t = \tan \frac{x}{2}$ ):

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} \sin x & = \frac{2 t}{1 + t^{2}} \\ \cos x & = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \\ \tan x & = \frac{2 t}{1 - t^{2}} \\ d x & = \frac{2}{1 + t^{2}} d t \end{aligned} \end{matrix}

错题集

其他重要的公式定理

余弦差角公式及其推广