余弦定理

发表: 5/11/2026 更新: 5/22/2026 字数: 0 字 时长: 0 分钟

定义

余弦定理，是任意三角形中，一条边的平方，等于另外两条边的平方和，减去这两条边与夹角余弦乘积的两倍。勾股定理是它的直角特例。

公式

在 $\mathrm{\Delta }ABC$ 中，角 A、B、C 对边分别为 a、b、c.
标准公式:

$$\begin{array}{rl}{a}^2& =b^2+c^2-2bc\cos A\\ b^2& =a^2+c^2-2ac\cos B\\ c^2& =a^2+b^2-2ab\cos C\end{array}$$

证明

在平面直角坐标系中，原点为 $A(0,0),$ $B(c,0)$ 为 x 轴上一点，在第一象限内，作 $C(b\cos A,b\sin A)$ 为以 b 为半径的圆上一点，连接 $A,B,C$ 三点作 $\mathrm{\Delta }ABC$. 根据两点距离公式算出 $(AB{)}^2$:
$\begin{array}{rl}(AB{)}^2& =(b\cos A-c{)}^2+(b\sin A{)}^2\\ a^2& =b^2({\cos }^{2}A+{\sin }^{2}A)+c^2-2bc\cos A\\ a^2& =b^2+c^2-2bc\cos A\end{array}$

图一 余弦定理示意图

三角形的三个内角及三边的地位是对称的，所以余弦定理可以推广到另外两条边。