几个小问题

更新: 5/22/2026 字数: 0 字 时长: 0 分钟

凹凸性

（一）def - $y=f(x)(x\in D)$

1. $If\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in D\mathrm{且}{x}_1\ne x_2\mathrm{有}:$
   $f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
   称 f(x) 在 D 上为凹函数;
2. $If\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in D\mathrm{且}{x}_1\ne x_2\mathrm{有}:$
   $f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
   称 f(x) 在 D 上为凸函数;

（二）判别法

判别法

th. $\mathrm{设}f(x)\in c[a,b],(a,b)\mathrm{内}\mathrm{二}\mathrm{阶}\mathrm{可}\mathrm{导}.$
① $If{f}^{″}(x)<0(a<x<b).\mathrm{则}f(x)\mathrm{在}[a,b]\mathrm{为}\mathrm{凸}\mathrm{函}\mathrm{数};$
② $If{f}^{″}(x)>0(a<x<b).\mathrm{则}f(x)\mathrm{在}[a,b]\mathrm{为}\mathrm{凹}\mathrm{函}\mathrm{数}.$

Note:

$L:y=f(x).$
$Ifx=x_0\mathrm{两}\mathrm{侧}y=f(x)\mathrm{凹}\mathrm{凸}\mathrm{性}\mathrm{不}\mathrm{同}$
$\mathrm{称}(x_0,f(x_0))\mathrm{为}\mathrm{曲}\mathrm{线}y=f(x)\mathrm{的}\mathrm{拐}\mathrm{点}.$

渐近线⭐

1. 水平渐近线 - $L:y=f(x).$
   $If\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A.y=A\mathrm{即}y=f(x)\mathrm{的}\mathrm{水}\mathrm{平}\mathrm{渐}\mathrm{近}\mathrm{线}.$

2. 铅直渐近线 - $L:y=f(x).$
   $Iff(a-0)=\mathrm{\infty }\mathrm{或}f(a+0)=\mathrm{\infty }\mathrm{或}\underset{x\to a}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }.$
   $x=a\mathrm{即}y=f(x)\mathrm{的}\mathrm{铅}\mathrm{直}\mathrm{渐}\mathrm{近}\mathrm{线}.$

3. 斜渐近线 - $L:y=f(x).$
   $If\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=a(\ne 0,\mathrm{\infty }).\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-ax]=b.$
   $y=ax+b\mathrm{即}y=f(x)\mathrm{的}\mathrm{斜}\mathrm{渐}\mathrm{近}\mathrm{线}.$

注意

水平渐近线与斜渐近线是互斥的.

$\mathrm{例}1.y=f(x)=\frac{2x^2+3x+4}{x-1}.\mathrm{求}f(x)\mathrm{的}\mathrm{渐}\mathrm{近}\mathrm{线}.$

解:
$\because \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }.\therefore f(x)\mathrm{无}\mathrm{水}\mathrm{平}\mathrm{渐}\mathrm{近}\mathrm{线};$
$\because \underset{x\to 1}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }.\therefore x=1\mathrm{为}f(x)\mathrm{的}\mathrm{铅}\mathrm{直}\mathrm{渐}\mathrm{近}\mathrm{线};$
$\because \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=2,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-2x]=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{5x+4}{x-1}=5.$
$\therefore y=2x+5\mathrm{为}f(x)\mathrm{的}\mathrm{斜}\mathrm{渐}\mathrm{近}\mathrm{线}.$

$\mathrm{例}2.y=f(x)=\sqrt{x^2+4x+7}-x.\mathrm{求}f(x)\mathrm{的}\mathrm{渐}\mathrm{近}\mathrm{线}.$

解:
$\because \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }.\therefore f(x)\mathrm{无}\mathrm{水}\mathrm{平}\mathrm{渐}\mathrm{近}\mathrm{线};$
$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=\frac{\sqrt{x^2+4x+7}-x}{x}=-2.\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}[f(x)+2x]=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{4x+7}{\sqrt{x^2+4x+7}-x}=-2.$
$\therefore y=-2x-2\mathrm{为}f(x)\mathrm{的}\mathrm{斜}\mathrm{渐}\mathrm{近}\mathrm{线}.$
$\mathrm{又}\because \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{4x+7}{\sqrt{x^2+4x+7}+x}=2.$
$\therefore y=2\mathrm{为}f(x)\mathrm{的}\mathrm{水}\mathrm{平}\mathrm{渐}\mathrm{近}\mathrm{线}.$
$\mathrm{由}\mathrm{于}f(x)\mathrm{在}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{域}\mathrm{内}\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{间}\mathrm{断}\mathrm{点}，\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{不}\mathrm{讨}\mathrm{论}\mathrm{其}\mathrm{铅}\mathrm{直}\mathrm{渐}\mathrm{近}\mathrm{线}.$

曲率、曲率半径

（一）弧微分

1. $L:y=f(x)$
   $\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}x{)}^2+(\mathrm{d}y{)}^2}=\sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{)}^2}\mathrm{d}x$
   $\therefore \mathrm{d}s=\sqrt{1+{f^{\prime }}^2(x)}\mathrm{d}x$

2. $L:\{\begin{array}{c}x=\phi (t)\\ y=\varphi (t)\end{array}$
   $\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}x{)}^2+(\mathrm{d}y{)}^2}=\sqrt{(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}{)}^2+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}{)}^2}\mathrm{d}t$
   $\therefore \mathrm{d}s=\sqrt{{{\phi }^{\prime }}^2(t)+{{\varphi }^{\prime }}^2(t)}\mathrm{d}t$

（二）曲率、曲率半径（数三不考）
$L:y=f(x).M_0(x_0,y_0)\in L$
$\begin{array}{r}K=\frac{|f^{″}(x_0)|}{(1+{f^{\prime }}^2(x_0){)}^{\frac{3}{2}}}=\frac{|y^{″}|}{(1+{y^{\prime }}^2{)}^{\frac{3}{2}}}{|}_{x=x_0}\end{array}$(该点对曲线的切线斜率:曲率)
$R=\frac{1}{K}.$(从该点垂直切线向内延伸的距离:曲率半径)