定积分-定义

发表: 5/18/2026 更新: 5/26/2026 字数: 0 字 时长: 0 分钟

  设函数 $f(x)$ 在区间 [a,b] 上有界，在 [a,b] 内任意插入 n-1 个分点

$$a=x_0<x_1<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$$

  这样 [a,b] 就被分为了 n 个小区间 $[x_{i-1},x_i],(i=1,2,\cdots ,n),$ 用 $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$ 表示各区间的长度，再在每个区间上取一点 ${\zeta }_i,x_{i-1}\le {\zeta }_i\le x_i,$ 作如下和式

$$\sum _{i=1}^{n}f({\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i=f({\zeta }_1)\mathrm{\Delta }{x}_1+f({\zeta }_2)\mathrm{\Delta }{x}_2+\cdots +f({\zeta }_n)\mathrm{\Delta }{x}_n$$

  令 $\lambda =\underset{1⩽i⩽n}{max}(\mathrm{\Delta }{x}_i),$ 若极限 $\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$ 存在且与 [a,b] 的划分及 ${\zeta }_i$ 的选取无关，则称 $f(x)$ 在区间 [a,b] 上可积，该极限称之为 $f(x)$ 在区间 [a,b] 上的定积分，记作 $\begin{array}{r}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.\end{array}$ 即:

$$\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

  其中 $f(x)$ 称为被积函数，$x$ 称为积分变量，[a,b] 称为积分区间，a，b 分别称为积分下、上限.

这里的积分指的是黎曼积分

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ggb-1 定积分定义示意图

Notes

1. $\lambda \to 0\mathrm{\&}n\to \mathrm{\infty }$
   ① $\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$
   $\begin{array}{l}b-a=\mathrm{\Delta }{x}_1+\mathrm{\Delta }{x}_2+\cdots +\mathrm{\Delta }{x}_n\le n\lambda \\ \begin{array}{r}n\ge \frac{b-a}{\lambda }\to \mathrm{\infty };\end{array}\\ \therefore n\to \mathrm{\infty };\end{array}$
   ② $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i\nRightarrow \underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$
   $\begin{array}{l}b-a=\mathrm{\Delta }{x}_1+\mathrm{\Delta }{x}_2+\cdots +\mathrm{\Delta }{x}_n\le n\lambda \\ \begin{array}{r}\lambda \ge \frac{b-a}{n}\to 0;\end{array}\\ \therefore \lambda \nrightarrow 0;\end{array}$

2. 可积条件
   ① 可积的必要条件:可积函数必有界
   ② 可积的充分条件:
   (1) $\mathrm{若}f(x)\mathrm{是}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{函}\mathrm{数},\mathrm{则}f(x)\mathrm{必}\mathrm{可}\mathrm{积};$
   (2) $\mathrm{若}f(x)\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{有}\mathrm{界},\mathrm{且}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{有}\mathrm{限}\mathrm{个}\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{类}\mathrm{间}\mathrm{断}\mathrm{点},\mathrm{则}f(x)\mathrm{必}\mathrm{可}\mathrm{积};$
   (3) $\mathrm{若}f(x)\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{单}\mathrm{调},\mathrm{则}f(x)\mathrm{必}\mathrm{可}\mathrm{积}.$

这里说的可积或不可积中的”积分“指的是黎曼积分，并不是广义上的定积分

$\begin{array}{l}\mathrm{设}f(x)\mathrm{在}[0,1]\mathrm{上}\mathrm{可}\mathrm{积}.\\ \begin{array}{r}\mathrm{将}[0,1]\mathrm{平}\mathrm{均}\mathrm{分}\mathrm{为}n\mathrm{个}\mathrm{小}\mathrm{区}\mathrm{间}[\frac{i-1}{n},\frac{i}{n}],(i=1,2,\cdots ,n),\mathrm{得}\mathrm{\Delta }{x}_i=\frac{1}{n}\end{array}\\ \begin{array}{r}\mathrm{此}\mathrm{时}\lambda =\frac{1}{n},\lambda \to 0\iff n\to \mathrm{\infty }\end{array}\\ \begin{array}{r}\mathrm{取}{\zeta }_1=\frac{0}{n},{\zeta }_2=\frac{1}{n},\cdots ,{\zeta }_n=\frac{n-1}{n}:{\zeta }_i=\frac{i-1}{n}(1\le i\le n);\end{array}\\ \mathrm{或}\\ \begin{array}{r}\mathrm{取}{\zeta }_1=\frac{1}{n},{\zeta }_2=\frac{2}{n},\cdots ,{\zeta }_n=\frac{n}{n}:{\zeta }_i=\frac{i}{n}(1\le i\le n).\end{array}\\ \begin{array}{r}\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\zeta }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(\frac{i-1}{n})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})\end{array}\\ \parallel \\ \begin{array}{r}{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x.\end{array}\end{array}$

记:$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(\frac{i-1}{n})& ={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x,\mathrm{或}\\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})& ={\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x.\end{array}$$

$\mathrm{例}1.\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^2}(\sqrt{n^2-1^2}+\sqrt{n^2-2^2}+\cdots +\sqrt{n^2-n^2})$

$\begin{array}{rl}\mathrm{原}\mathrm{式}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}(\sqrt{1-\frac{1^2}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{2^2}{n^2}}+\cdots +\sqrt{1-\frac{n^2}{n^2}})\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\sqrt{1-(\frac{i}{n}{)}^2}\\ & ={\int }_0^1\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x\\ & =\frac{\pi }{4}\end{array}$