微积分基本定理

发表: 5/20/2026 更新: 6/1/2026 字数: 0 字时长: 0 分钟

(1) 定义:设函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积，则称 $\begin{array}{r} Φ (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t, a \leq x \leq b \end{array}$ 为变上限积分(积分上限函数)；
(2) 性质:若 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $\begin{array}{r} Φ (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t \end{array}$ 在 $[a, b]$ 上连续；
(3) 定理:
① 微积分第一基本定理

若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则变上限积分 $\begin{array}{r} Φ (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t \end{array}$ 在 $[a, b]$ 上可导，且

Φ^{'} (x) = (\int_{a}^{x} f (t) d t)^{'} = f (x), a \leq x \leq b;

② 微积分第二基本定理

设 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续， $F (x)$ 是 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的一个原函数，则

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) .

证明

① 微积分第一基本定理

$\begin{array}{l} \begin{array}{r} 令 Φ (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t . \end{array} \\ \begin{aligned} Φ^{'} (x) & = lim_{Δ x \to 0} \frac{Φ (x + Δ x) - Φ (x)}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{\int_{a}^{x + Δ x} f (t) d t - \int_{a}^{x} f (t) d t}{Δ x} \\ = lim_{Δ x \to 0} \frac{\int_{a}^{x} f (t) d t + \int_{x}^{x + Δ x} f (t) d t - \int_{a}^{x} f (t) d t}{Δ x} \\ = lim_{Δ x \to 0} \frac{\int_{x}^{x + Δ x} f (t) d t}{Δ x} \end{aligned} \\ \begin{array}{r} 根据积分中值定理 : \int_{a}^{b} f (x) d x = f (ζ) (b - a), ζ \in [a, b] \end{array} \\ \begin{array}{r} \Rightarrow \int_{x}^{x + Δ x} f (t) d t = f (ζ) Δ x, ζ \in [x, x + Δ x] (若 Δ x < 0, 则 ζ \in [x + Δ x, x]) \end{array} \\ ∴ Φ^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} f (ζ) \\ 根据夹逼定理，当 Δ x \to 0 时, ζ \to x, 且 f (x) 连续 \\ \Rightarrow lim_{Δ x \to 0} f (ζ) = lim_{ζ \to x} f (ζ) = f (x) \\ 即 Φ^{'} (x) = f (x) . \end{array}$

变上限积分通用求导公式

$\begin{aligned} \int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f (t) d t & = \int_{a}^{φ_{2} (x)} f (t) d t - \int_{a}^{φ_{1} (x)} f (t) d t \\ (\int_{φ_{1} (x)}^{φ_{2} (x)} f (t) d t)^{'} & = f (φ_{2} (x)) φ_{2}^{'} (x) - f (φ_{1} (x)) φ_{1}^{'} (x) \\ (\int_{a}^{φ (x)} f (t) d t)^{'} & = f (φ (x)) φ^{'} (x) \end{aligned}$

② 微积分第二基本定理

$\begin{array}{l} \begin{array}{r} 设 Φ (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t, F (x) 是 f (x) 的一个原函数, F (x) = Φ (x) + C \end{array} \\ F (a) = Φ (a) + C = 0 + C = C \\ \begin{aligned} \Rightarrow Φ (x) & = F (x) - F (a) \\ Φ (b) & = F (b) - F (a) \end{aligned} \\ \begin{aligned} 即 \int_{a}^{b} f (x) d x & = F (b) - F (a) . \end{aligned} \end{array}$

Notes:

(1) 对于 $\begin{array}{r} \int_{a}^{x} f (t) d t . \end{array}$

计算积分过程中，t 是自变量，x 作为积分上限是参变量（或外层自变量），视为常数；
积分求导过程中，x 是自变量，t 作为哑变量在积分计算完成时被 x 替换掉了.

(2) 对于 $\begin{array}{r} \int_{a}^{x} f (x, t) d t . \end{array}$
此时 $f (x, t)$ 中的 x 与积分上限中的 x 是同一个变量，在积分过程中，x 被视为常数.

积分中值定理的加强形式证明

$\begin{array}{l} \begin{array}{r} 定义 Φ (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t, x \in [a, b], Φ^{'} (x) = f (x) \end{array} \\ 由 L a g r a n g e 中值定理得 : \exists ζ \in (a, b), 使得 Φ (b) - Φ (a) = Φ^{'} (ζ) (b - a) \\ \begin{array}{r} 由 Φ (x) 的定义 : Φ (b) = \int_{a}^{b} f (t) d t, Φ (a) = \int_{a}^{a} f (t) d t = 0, Φ^{'} (ζ) = f (ζ) \end{array} \\ \begin{aligned} \Rightarrow \int_{a}^{b} f (t) d t & = f (ζ) (b - a) \\ \int_{a}^{b} f (x) d x & = f (ζ) (b - a) (ζ \in (a, b)) . \end{aligned} \end{array}$

$例 1. 已知 f (x) 连续, f (0) = 0, f^{'} (0) = 2, 求 lim_{x \to 0} \frac{\int_{- x}^{x} [f (t + x) - f (t - x)] d t}{x^{2}} .$

$\begin{array}{l} \begin{aligned} \int_{- x}^{x} [f (t + x) - f (t - x)] d t \\ = & \int_{- x}^{x} f (t + x) d (t + x) - \int_{- x}^{x} f (t - x) d (t - x) \\ = & \int_{0}^{2 x} f (u) d u + \int_{0}^{- 2 x} f (u) d u \end{aligned} \\ \begin{aligned} 原式 & = lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{2 x} f (u) d u + \int_{0}^{- 2 x} f (u) d u}{x^{2}} \\ = lim_{x \to 0} \frac{2 f (2 x) - 2 f (- 2 x)}{2 x} \\ = lim_{x \to 0} \frac{f (2 x) - f (- 2 x)}{x} \\ = lim_{x \to 0} 2 (\frac{f (2 x) - f (0)}{2 x} + \frac{f (0) - f (- 2 x)}{2 x}) \\ = 2 (f^{'} (0) + f^{'} (0)) = 2 \cdot (2 + 2) \\ = 8 \end{aligned} \end{array}$

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证明

$例 1. 已知 f (x) 连续, f (0) = 0, f^{'} (0) = 2, 求 lim_{x \to 0} \frac{\int_{- x}^{x} [f (t + x) - f (t - x)] d t}{x^{2}} .$

微积分基本定理 ​

证明

例已知连续求例1.已知f(x)连续,f(0)=0,f′(0)=2,求 limx→0∫−xx[f(t+x)−f(t−x)]dtx2.

微积分基本定理

$例 1. 已知 f (x) 连续, f (0) = 0, f^{'} (0) = 2, 求 lim_{x \to 0} \frac{\int_{- x}^{x} [f (t + x) - f (t - x)] d t}{x^{2}} .$