不定积分-定义

发表: 4/28/2026 更新: 6/1/2026 字数: 0 字 时长: 0 分钟

defs.

1. 原函数
   $f(x),F(x)(x\in D).If\mathrm{\forall }x\in D,\mathrm{有}{F}^{\prime }(x)=f(x).\mathrm{称}F(x)\mathrm{为}f(x)\mathrm{在}D\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{原}\mathrm{函}\mathrm{数}.$

Notes:

① $\mathrm{若}f(x)\mathrm{\exists }\mathrm{原}\mathrm{函}\mathrm{数},\mathrm{则}\mathrm{有}\mathrm{无}\mathrm{数}\mathrm{个}\mathrm{原}\mathrm{函}\mathrm{数}$
$\because F^{\prime }(x)=f(x)\Rightarrow [F(x)+C{]}^{\prime }=f(x)(C\in \mathbb{R})$
② $\mathrm{若}f(x)\mathrm{有}\mathrm{原}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{则}\mathrm{任}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{原}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{相}\mathrm{差}\mathrm{常}\mathrm{数}$
$\mathrm{如}:F^{\prime }(x)=f(x),G^{\prime }(x)=f(x).$
$\because [F(x)-G(x){]}^{\prime }=0.\therefore F(x)-G(x)=C_0.$
③ 连续函数一定有原函数,反之不对.

2. 不定积分
   $\mathrm{设}F(x)\mathrm{为}f(x)\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{原}\mathrm{函}\mathrm{数},\mathrm{则}F(x)+C\mathrm{为}f(x)\mathrm{的}\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{原}\mathrm{函}\mathrm{数}.$称为 $f(x)$ 的不定积分,记:
   ${\displaystyle \int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C.}$

Notes:

① ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int f(x)\mathrm{d}x=f(x);}$
② ${\displaystyle \int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C.}$
③ $f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\mathrm{d}f(x)$