海伦公式

发表: 5/12/2026 更新: 5/20/2026 字数: 0 字 时长: 0 分钟

在任意 $\mathrm{\Delta }ABC$ 中，记 A、B、C 为三个内角，对边: a = BC, b = AC, c = AB，面积为 S.
记半周长 $p=\frac{a+b+c}{2}$
有:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

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证:

$\mathrm{联}\mathrm{立}\{\begin{array}{c}S=\frac{1}{2}bc\sin A\\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\ {\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1\end{array}$
$\begin{array}{rl}\Rightarrow S& =\frac{1}{2}bc\sin A\\ & =\frac{1}{2}bc\sqrt{1-{\cos }^{2}A}\\ & =\frac{1}{2}bc\sqrt{1-(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}{)}^2}\\ & =\sqrt{\frac{\cancel{(bc{)}^2}}{2^2}\cdot \frac{(2bc{)}^2-(b^2+c^2-a^2{)}^2}{2^2\cdot \cancel{(bc{)}^2}}}\\ & =\sqrt{\frac{(2bc{)}^2-(b^2+c^2-a^2{)}^2}{16}}\\ & =\sqrt{\frac{(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-b^2-c^2+a^2)}{16}}\\ & =\sqrt{\frac{((b+c{)}^2-a^2)(a^2-(b-c{)}^2)}{16}}\\ & =\sqrt{\frac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{16}}\\ & =\sqrt{\frac{a+b+c}{2}(\frac{a+b+c}{2}-a)(\frac{a+b+c}{2}-b)(\frac{a+b+c}{2}-c)}\\ & =\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\end{array}$