指数函数导数证明

发表: 4/28/2026 更新: 5/22/2026 字数: 0 字 时长: 0 分钟

$\mathrm{对}\mathrm{于}{a}^x,\mathrm{证}\mathrm{明}\mathrm{其}\mathrm{导}\mathrm{数}(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a.$

自然常数 e

前提① 定义自然对数的底 e

数学上通常将 e 定义为一个极限:
$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$
或者等价地，在连续变量下:
$\underset{t\to 0}{lim}(1+t{)}^{\frac{1}{t}}=e$

方法一:导数定义 ①

$f(x)=a^x$
$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{a^{x+\mathrm{\Delta }x}-a^x}{\mathrm{\Delta }x}=a^x\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{a^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}.$
$\mathrm{设}L=\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}$
$\mathrm{令}{a}^h-1=t\Rightarrow h={\log }_a(1+t),\mathrm{当}h\to 0\Rightarrow t\to 0.$
$L=\underset{t\to 0}{lim}\frac{t}{{\log }_a(1+t)}=\underset{t\to 0}{lim}\frac{1}{\frac{1}{t}{\log }_a(1+t)}=\underset{t\to 0}{lim}\frac{1}{{\log }_a(1+t{)}^{\frac{1}{t}}}$
$\because \underset{t\to 0}{lim}(1+t{)}^{\frac{1}{t}}=e,$ 且已知对数函数是连续的(可导必然连续)
$\therefore L=\frac{1}{{\ln }_{a}e}=\ln a$
$\therefore f^{\prime }(x)=a^x\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{a^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}=a^x\cdot L=a^x\ln a.$

关于极限 '路上' 与 '终点' 的悖论

在数学上,函数 $f(x)$ 具有连续性的定义之一就是极限符号可以与函数符号互换位置.
即: $\underset{x\to x_0}{lim}f(g(x))=f(\underset{x\to x_0}{lim}g(x))$
如 $\underset{t\to 0}{lim}{\log }_a(1+t{)}^{\frac{1}{t}}={\log }_a\underset{t\to 0}{lim}(1+t{)}^{\frac{1}{t}}$, 如果 ${\log }_{a}x$ 不连续则该等式不成立.
$\mathrm{设}\mathrm{函}\mathrm{数}h(x):$
$\{\begin{array}{c}h(x)=100,x=e\\ h(x)=0,x\ne e\end{array}$
$\mathrm{则}\{\begin{array}{c}\underset{t\to 0}{lim}{\log }_a(1+t{)}^{\frac{1}{t}}=0;\\ {\log }_a\underset{t\to 0}{lim}(1+t{)}^{\frac{1}{t}}=100.\end{array}$
$\underset{t\to 0}{lim}h(g(t))\mathrm{是}\mathrm{动}\mathrm{态}\mathrm{趋}\mathrm{近}\mathrm{的}\mathrm{过}\mathrm{程},\mathrm{该}\mathrm{过}\mathrm{程}\mathrm{先}\mathrm{进}\mathrm{行}h(g(t))\mathrm{的}\mathrm{运}\mathrm{算},\mathrm{再}\mathrm{整}\mathrm{体}\mathrm{取}\mathrm{极}\mathrm{限}.$
$\mathrm{在}t\to 0\mathrm{的}\mathrm{动}\mathrm{态}\mathrm{过}\mathrm{程}\mathrm{中},\mathrm{对}\mathrm{于}g(t),\mathrm{这}\mathrm{意}\mathrm{味}\mathrm{着}g(t)\mathrm{只}\mathrm{是}\mathrm{无}\mathrm{限}\mathrm{接}\mathrm{近}e\mathrm{但}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{于}e.$
$\mathrm{所}\mathrm{以}h(g(t))\equiv 0.$
$\mathrm{而}\mathrm{对}\mathrm{于}h(\underset{t\to 0}{lim}g(x)),\mathrm{优}\mathrm{先}\mathrm{完}\mathrm{成}\underset{t\to 0}{lim}g(t)\mathrm{的}\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{运}\mathrm{算}(\mathrm{直}\mathrm{接}\mathrm{提}\mathrm{取}\mathrm{静}\mathrm{态}\mathrm{目}\mathrm{标})$
$\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{的}\mathrm{结}\mathrm{果}\mathrm{是}h(e)=100.$

对数函数求导

前提② 证明对数函数的导数

证:

$f(x)=\ln x$
$\mathrm{根}\mathrm{据}\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{定}\mathrm{义}:f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\ln (x+\mathrm{\Delta }x)-\ln x}{\mathrm{\Delta }x}.$
$\mathrm{左}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{x})}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\ln (1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{x}{)}^{\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\ln [(1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{x}{)}^{\frac{x}{\mathrm{\Delta }x}}{]}^{\frac{1}{x}}.$
$\because \mathrm{当}\mathrm{\Delta }x\to 0\mathrm{时},\frac{\mathrm{\Delta }x}{x}\to 0,\frac{x}{\mathrm{\Delta }x}\to \mathrm{\infty }$
$\therefore f^{\prime }(x)=\ln e^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x}.$

方法二:隐函数 ①②

$y=a^x$
$\mathrm{两}\mathrm{边}\mathrm{取}\mathrm{对}\mathrm{数}:\ln y=\ln a^x=x\ln a$
$\mathrm{两}\mathrm{边}\mathrm{对}x\mathrm{求}\mathrm{导}:\mathrm{左}\mathrm{边}\mathrm{是}\mathrm{复}\mathrm{合}\mathrm{函}\mathrm{数}\ln (y(x)),\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{为}\frac{1}{y}{y}^{\prime }$
$\Rightarrow \frac{1}{y}{y}^{\prime }=\ln a$
$\Rightarrow y^{\prime }=y\ln a$
$\Rightarrow (a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$

自然指数函数求导

前提③ 证明自然指数函数的导数

证:

$\because y=e^x$ 是 $x=\ln y$ 的反函数
根据反函数的求导法则:$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}$ 且 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{y}$
$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\frac{1}{y}}=y=e^x$
$\mathrm{即}(e^x{)}^{\prime }=e^x.$

方法三:自然对数 ①②③

$y=a^x=e^{x\ln a}$
$\mathrm{根}\mathrm{据}\mathrm{复}\mathrm{合}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{求}\mathrm{导}\mathrm{法}\mathrm{则}:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(a^x)=e^{x\ln a}\cdot lna$
$\because e^{x\ln a}=a^x$
$\therefore (a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$