正弦定理

发表: 5/12/2026 更新: 5/20/2026 字数: 0 字 时长: 0 分钟

在任意 $\mathrm{\Delta }ABC$ 中，记 A、B、C 为三个内角，对边: a = BC, b = AC, c = AB.有:

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

R 是 $\mathrm{\Delta }ABC$ 的外接圆半径。

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证:
法一:三角形内作高

$\mathrm{在}\mathrm{\Delta }ABC\mathrm{中},\mathrm{过}C\mathrm{作}CD\perp AB,\mathrm{垂}\mathrm{足}\mathrm{为}D.$
$\mathrm{在}Rt\mathrm{\Delta }ACD:\sin A=\frac{CD}{b}\Rightarrow CD=b\sin A$
$\mathrm{在}Rt\mathrm{\Delta }BCD:\sin B=\frac{CD}{a}\Rightarrow CD=a\sin B$
$\begin{array}{rl}\Rightarrow b\sin A& =a\sin B\\ \frac{a}{\sin A}& =\frac{b}{\sin B}\end{array}$
同理，作另一条边上的高，可证:
$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$
联立得:$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

图一 正弦定理-三角形内作高

法二:外接圆

作 $\mathrm{\Delta }ABC$ 的外接圆，记圆心为 O,半径为 $R$.
作圆上一点 A'，连接 A'B，移动 A'，当 A'B 恰好经过圆心 O 时，$A^{\prime }B=2R,\mathrm{\angle }{A}^{\prime }CB={90}^{\circ }$
$\because \mathrm{同}\mathrm{弧}\mathrm{所}\mathrm{对}\mathrm{圆}\mathrm{周}\mathrm{角}\mathrm{相}\mathrm{等}:\mathrm{\angle }{A}^{\prime }=\mathrm{\angle }A$
$\begin{array}{rl}\Rightarrow \sin A^{\prime }& =\frac{BC}{A^{\prime }B}=\frac{a}{2R}\\ \sin A& =\frac{a}{2R}\\ \frac{a}{\sin A}& =2R\end{array}$
同理可证:$\frac{b}{\sin B}=2R,\frac{c}{\sin C}=2R,$
整理得:$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

图二 正弦定理-外接圆