诱导公式

发表: 5/10/2026 更新: 5/22/2026 字数: 0 字 时长: 0 分钟

1. 奇偶性公式

① $-\alpha$

角 $-\alpha$ 是角 $\alpha (\alpha \in (0,\frac{\pi }{2}))$ 关于 x 轴对称的角，根据图像可知，横坐标不变，纵坐标取反，即:
$\sin (-\alpha )=-y=-\sin \alpha$
$\cos (-\alpha )=x=\cos \alpha$
$\tan (-\alpha )=-\frac{y}{x}=-\tan \alpha$

得到诱导公式 1:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{rl}\sin (-\alpha )& =-\sin \alpha \\ \cos (-\alpha )& =\cos \alpha \\ \tan (-\alpha )& =-\tan \alpha \end{array}\end{array}$$

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ggb-1 三角函数 $-\alpha$ 示意图

2. 周期性公式

② $2k\pi +\alpha$

角 $2k\pi +\alpha (k\in \mathbb{Z})$ 是角 $\alpha (\alpha \in \mathbb{R})$ 旋转整数圈的角,终边不变，坐标不变.
得到诱导公式 2:

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{rl}\sin (2k\pi +\alpha )& =\sin \alpha \\ \cos (2k\pi +\alpha )& =\cos \alpha \\ \tan (2k\pi +\alpha )& =\tan \alpha \end{array}\end{array}$$

2. 对称诱导公式

③ $\pi /2-\alpha$

角 $\frac{\pi }{2}-\alpha$ 是角 $\alpha (\alpha \in (0,\frac{\pi }{2}))$ 关于直线 y=x 对称的角.

• $\alpha \mathrm{终}\mathrm{边}\mathrm{交}\mathrm{点}P(x,y)$
• $\frac{\pi }{2}-\alpha \mathrm{终}\mathrm{边}\mathrm{交}\mathrm{点}{P}^{\prime }(y,x)$

证明

$\mathrm{过}\mathrm{点}P\mathrm{作}x\mathrm{轴}\mathrm{的}\mathrm{垂}\mathrm{线}\mathrm{段}\mathrm{交}\mathrm{于}\mathrm{点}A，\mathrm{过}\mathrm{点}{P}^{\prime }\mathrm{作}y\mathrm{轴}\mathrm{的}\mathrm{垂}\mathrm{线}\mathrm{段}\mathrm{交}\mathrm{于}\mathrm{点}B，\mathrm{原}\mathrm{点}\mathrm{为}O(0,0)$
$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{\Delta }POA\mathrm{和}\mathrm{\Delta }{P}^{\prime }OB\mathrm{都}\mathrm{是}\mathrm{直}\mathrm{角}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}，PO=P^{\prime }O，\mathrm{\angle }POA=\mathrm{\angle }{P}^{\prime }OB=\alpha$
$\mathrm{根}\mathrm{据}AAS\mathrm{可}\mathrm{知}\mathrm{\Delta }POA\cong \mathrm{\Delta }{P}^{\prime }OB$
$\mathrm{则}{P}^{\prime }B=PA=y,BO=AO=x,\mathrm{即}{P}^{\prime }(y,x)$

代入定义:
$\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=x=\cos \alpha$
$\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=y=\sin \alpha$

得到诱导公式 3:

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{rl}\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )& =\cos \alpha \\ \cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )& =\sin \alpha \\ \tan (\frac{\pi }{2}-\alpha )& =\cot \alpha \end{array}\end{array}$$

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ggb-2 三角函数 $\begin{array}{r}\frac{\pi }{2}-\alpha \end{array}$ 示意图

④ $\pi /2+\alpha$

角 $\frac{\pi }{2}+\alpha$ 是角 $\alpha (\alpha \in (0,\frac{\pi }{2}))$ 绕原点逆时针旋转 90° 得到的角.

• $\alpha \mathrm{终}\mathrm{边}\mathrm{交}\mathrm{点}P(x,y)$
• $\frac{\pi }{2}+\alpha \mathrm{终}\mathrm{边}\mathrm{交}\mathrm{点}{P}^{\prime }(-y,x)$

证明

$\because \mathrm{由}\mathrm{①}\mathrm{易}\mathrm{知}\mathrm{\Delta }POA\cong \mathrm{\Delta }{P}^{\prime }OB$
$\mathrm{且}{P}^{\prime }\mathrm{处}\mathrm{于}\mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{象}\mathrm{限}，P^{\prime }(-,+)，x,y>0$
$\Rightarrow P^{\prime }(-y,x)$

代入定义:
$\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )=x=\cos \alpha$
$\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-y=-\sin \alpha$

得到诱导公式 4:

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{rl}\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )& =\cos \alpha \\ \cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )& =-\sin \alpha \\ \tan (\frac{\pi }{2}+\alpha )& =-\cot \alpha \end{array}\end{array}$$

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ggb-3 三角函数 $\begin{array}{r}\frac{\pi }{2}+\alpha \end{array}$ 示意图

⑤ $\pi -\alpha$

角 $\pi -\alpha$ 是角 $\alpha (\alpha \in (0,\frac{\pi }{2}))$ 关于 y 轴对称的角.

• $\alpha \mathrm{终}\mathrm{边}\mathrm{交}\mathrm{点}P(x,y)$
• $\pi -\alpha \mathrm{终}\mathrm{边}\mathrm{交}\mathrm{点}{P}^{\prime }(-x,y)$

代入定义:
$\sin (\pi -\alpha )=y=\sin \alpha$
$\cos (\pi -\alpha )=-x=-\cos \alpha$

得到诱导公式 5:

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{rl}\sin (\pi -\alpha )& =\sin \alpha \\ \cos (\pi -\alpha )& =-\cos \alpha \\ \tan (\pi -\alpha )& =-\tan \alpha \end{array}\end{array}$$

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ggb-4 三角函数 $\pi -\alpha$ 示意图

⑥ $\pi +\alpha$

角 $\pi +\alpha$ 是角 $\alpha (\alpha \in (0,\frac{\pi }{2}))$ 关于 y 轴对称的角.

• $\alpha \mathrm{终}\mathrm{边}\mathrm{交}\mathrm{点}P(x,y)$
• $\pi +\alpha \mathrm{终}\mathrm{边}\mathrm{交}\mathrm{点}{P}^{\prime }(-x,-y)$

代入定义:
$\sin (\pi +\alpha )=-y=-\sin \alpha$
$\cos (\pi +\alpha )=-x=-\cos \alpha$

得到诱导公式 6:

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{rl}\sin (\pi +\alpha )& =-\sin \alpha \\ \cos (\pi +\alpha )& =-\cos \alpha \\ \tan (\pi +\alpha )& =\tan \alpha \end{array}\end{array}$$

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ggb-5 三角函数 $\pi +\alpha$ 示意图

3 任意角的诱导公式

读者不难发现，以上诱导公式基本是基于第一象限的角 $\alpha (\alpha \in (0,\frac{\pi }{2}))$ 得到的。
而对于三角函数，基于其奇偶性和周期性，可以得出以下结论:
三角函数的所有公式，只要在第一象限（锐角）成立，就可以严格推广到全体实数、所有象限。

以 $\sin x=\cos (\frac{\pi }{2}-x)$ 为例.

① 第一象限:$0<x<\frac{\pi }{2}$
$\sin x=\cos (\frac{\pi }{2}-x)$

② 第二象限:$\frac{\pi }{2}<x<\pi$
$\mathrm{令}x=\pi -\alpha ,\mathrm{其}\mathrm{中}\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$
$\mathrm{左}=\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$
$\mathrm{右}=\cos (\frac{\pi }{2}-\pi +\alpha )=\cos (-(\frac{\pi }{2}-\alpha ))=\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha$
$\mathrm{左}=\mathrm{右}，\mathrm{即}\sin x=\cos (\frac{\pi }{2}-x)$

③ 第三象限:$\pi <x<\frac{3\pi }{2}$
$\mathrm{令}x=\pi +\alpha ,\mathrm{其}\mathrm{中}\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$
$\mathrm{左}=\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$
$\mathrm{右}=\cos (\frac{\pi }{2}-\pi -\alpha )=\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\sin \alpha$
$\mathrm{左}=\mathrm{右}，\mathrm{即}\sin x=\cos (\frac{\pi }{2}-x)$

④ 第四象限:$\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$
$\mathrm{令}x=2\pi -\alpha ,\mathrm{其}\mathrm{中}\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$
$\mathrm{左}=\sin (2\pi -\alpha )=-\sin \alpha$
$\mathrm{右}=\cos (\frac{\pi }{2}-2\pi +\alpha )=\cos (2\pi -(\frac{\pi }{2}+\alpha ))=\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\sin \alpha$
$\mathrm{左}=\mathrm{右}，\mathrm{即}\sin x=\cos (\frac{\pi }{2}-x)$

其他公式同理皆可推广到全体实数、所有象限。