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发表: 4/28/2026 更新: 6/1/2026 字数: 0 字 时长: 0 分钟
设函数在的某个去心领域内有定义设函数 f(x) 在 x0 的某个去心领域内有定义.若存在实数有使得当满足若存在实数 A,有 ∀ ε>0,∃ δ>0,使得当 x 满足:0<|x−x0|<δ时，恒有时，恒有:|f(x)−A|<ε.则称函数在处的极限值为记作则称函数 f(x) 在 x0 处的极限值为 A,记作 limx→x0f(x)=A.
极限定义解读
① 对于 ∀ ε>0,∃ δ>0,理解为:无论取的ε有多小,总能找到一个δ满足条件. ② 0<|x−x0|<δ,|f(x)−A|<ε. 意为只要x距离x0足够近,f(x)要多接近A就有多接近. ③ 0<|x−x0|<δ⇒x0−δ<x<x0+δ (x≠x0) 此时x在x0的去心领域内.
设函数在的某个领域内有定义且设函数 f(x) 在 x0 的某个领域内有定义,且 limx→x0f(x)=f(x0).则称函数在处连续则称函数 f(x) 在 x0 处连续.
函数连续是在函数极限的基础上定义的，也就是说函数连续必定极限存在. 根据limx→x0f(x)=f(x0)可以得到两个信息: ① 函数在处有定义即存在函数在 x0 处有定义,即 f(x0) 存在 ② 极限存在极限 limx→x0f(x) 存在
连续的完整定义:设函数在的某个领域内有定义设函数 f(x) 在 x0 的某个领域内有定义.若存在有使得当满足若f(x0)存在,有 ∀ ε>0,∃ δ>0,使得当 x 满足:|x−x0|<δ时，恒有时，恒有:|f(x)−f(x0)|<ε.则称函数在处连续记作则称函数 f(x) 在 x0 处连续,记作 limx→x0f(x)=f(x0).
下面一道例题使用ε−δ语言的推导过程帮助你理解函数的极限与连续.
例题设置函数是复合函数例题.设置函数 y=f[g(x)] 是复合函数.若且在点处连续若 limx→x0g(x)=A,且 f(u) 在点 u=A 处连续.证证:limx→x0f[g(x)]=f(A).
在点连续根据连续定义10.∵f(u) 在 A 点连续,根据连续定义:使得当∀ ε>0,∃ η>0,使得当恒有|u−A|<η,恒有:|f(u)−f(A)|<ε.根据极限定义20.∵limx→x0g(x)=A,根据极限定义:对于的使得当对于 f 的 η>0,∃ δ>0,使得当恒有0<|x−x0|<δ,恒有:|g(x)−A|<η.落在的范围内则根据在点连续的定义推出30.∵g(x) 落在 A 的 η 范围内,则根据f(u)在 A 点连续的定义推出:使得当∀ ε>0,∃ η>0,使得当恒有|g(x)−A|<η,恒有:|f(g(x))−f(A)|<ε.结合在处的极限定义有40.结合 g(x) 在 x0 处的极限定义,有:使得当∀ ε>0,∃ δ>0,使得当恒有0<|x−x0|<δ,恒有:|f(g(x))−f(A)|<ε.按照定义得按照定义,得:limx→x0f[g(x)]=f(A).
