极值

发表: 4/23/2026 更新: 4/27/2026 字数: 0 字 时长: 0 分钟

单调性和极值是一个问题的两个面，比如说先递增后递减，则该点是极大点；先递减后递增，该点是极小点，所以只研究极值点，单调性自然出来。

一. 单调性. $y=f(x)$

$1^0.x\in D;$
$2^0$. $f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{c}=0(\mathrm{驻}\mathrm{点})\\ \mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}\end{array}$
$3^0$.驻点或不可导点将D分成若干小区间.
$If\mathrm{某}\mathrm{小}\mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{内}{f}^{\prime }(x)>0\Rightarrow f(x)\mathrm{在}\mathrm{该}\mathrm{小}\mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{上}\uparrow$
$If\mathrm{某}\mathrm{小}\mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{内}{f}^{\prime }(x)<0\Rightarrow f(x)\mathrm{在}\mathrm{该}\mathrm{小}\mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{上}\downarrow$

二. 极值
（一）def - $y=f(x)(x\in D).x_0\in D.(f^{\prime }(x_0)=0\mathrm{或}{f}^{\prime }(x_0)=\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在})$
① $If\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{当}0<|x-x_0|<\delta \mathrm{时},$
$f(x)<f(x_0).$
$x=x_0\mathrm{为}\mathrm{极}\mathrm{大}\mathrm{点}$
② $If\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{当}0<|x-x_0|<\delta \mathrm{时},$
$f(x)>f(x_0).$
$x=x_0\mathrm{为}\mathrm{极}\mathrm{小}\mathrm{点}$

（二）求极值的步骤:$y=f(x)$

$1^0.x\in D;$
$2^0$. $f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{c}=0(\mathrm{驻}\mathrm{点})\\ \mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}\end{array}$
$3^0.\mathrm{判}\mathrm{别}\mathrm{法}$

极值判别法

方法一（第一充分条件）.
① $If\left\{\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)<0,x<x_0\\ f^{\prime }(x)>0,x>x_0\end{array}\right\}\Rightarrow x=x_0\mathrm{为}\mathrm{极}\mathrm{小}\mathrm{点};$
② $If\left\{\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)>0,x<x_0\\ f^{\prime }(x)<0,x>x_0\end{array}\right\}\Rightarrow x=x_0\mathrm{为}\mathrm{极}\mathrm{大}\mathrm{点}.$

方法二（第二充分条件） $If{f}^{\prime }(x)=0.$
① $f^{″}(x)>0\Rightarrow x=x_0\mathrm{为}\mathrm{极}\mathrm{小}\mathrm{点};$
② $f^{″}(x)<0\Rightarrow x=x_0\mathrm{为}\mathrm{极}\mathrm{大}\mathrm{点}.$

证:

① $f^{\prime }(x_0)=0,f^{″}(x_0)>0:$
$f^{″}(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{x-x_0}>0.$
$\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{当}0<|x-x_0|<\delta \mathrm{时},\frac{f^{\prime }(x)}{x-x_0}>0.$
$\{\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)<0,x\in (x_0-\delta ,x_0)\\ f^{\prime }(x)>0,x\in (x_0,x_0+\delta )\end{array}$
$\Rightarrow x=x_0\mathrm{为}\mathrm{极}\mathrm{小}\mathrm{点}.$
② $f^{\prime }(x_0)=0,f^{″}(x_0)<0:$
$f^{″}(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{x-x_0}<0.$
$\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{当}0<|x-x_0|<\delta \mathrm{时},\frac{f^{\prime }(x)}{x-x_0}<0.$
$\{\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)>0,x\in (x_0-\delta ,x_0)\\ f^{\prime }(x)<0,x\in (x_0,x_0+\delta )\end{array}$
$\Rightarrow x=x_0\mathrm{为}\mathrm{极}\mathrm{大}\mathrm{点}.$

极限保号性

极限的正负与去心领域内函数的正负相同。